数学基础

1.1 为什么需要坐标？

VEX 比赛的场地是一个 366cm x 366cm 的正方形。比赛中你要跟队友沟通机器人的位置。

如果你说"机器人在左边一点"，队友会问：多左？多一点是多少？

所以我们需要一种精确的方式来描述位置 -- 用两个数字：一个表示左右，一个表示前后。这就是坐标。

1.2 x 和 y

• x = 左右方向。往右是正数，往左是负数。
• y = 前后方向。往前是正数，往后是负数。

看下面这个简化的场地俯视图，上面标了几个位置的坐标：

几个要点：

• 往右走，x 增大；往左走，x 减小
• 往前走（图上是往上），y 增大；往后走（图上是往下），y 减小
• 中心点是 (0, 0)，叫做原点

1.3 原点和正方向

原点就是坐标的起始点 (0, 0)。通常我们把机器人出发的位置设为原点。

正方向的约定：

• x 正方向 = 往右
• y 正方向 = 往前

这个约定并不是绝对的 -- 有些代码可能把 y 正方向定义成往后。重要的是：你和你的代码约定一致就行。

2.1 角度描述方向

坐标告诉我们机器人"在哪"，角度告诉我们机器人"朝哪"。

我们用角度来描述方向：

• 0 度 = 面朝前（y 正方向）
• 90 度 = 面朝右
• 180 度 = 面朝后
• 270 度 = 面朝左

2.2 顺时针还是逆时针？

我们约定：顺时针 = 正角度。

跟时钟一样：从 12 点（前方）往 3 点（右边）转，就是顺时针转了 90 度。

2.3 角度和移动方向

当机器人朝某个角度走直线时，x 和 y 坐标都可能变化：

• 朝 0 度走 -- 只有 y 变（往前走）
• 朝 90 度走 -- 只有 x 变（往右走）
• 朝 45 度走 -- x 和 y 都变，而且变化量一样大

那如果朝 30 度走呢？x 和 y 各变多少？这就是下一章要解决的问题。

3.1 问题引入

机器人朝 30 度方向走了 10cm。问题来了：

• 往右走了多少？（x 变了多少？）
• 往前走了多少？（y 变了多少？）

画出来就是一个直角三角形：

斜边是 10cm，其中一个角是 30 度。数学家给这个拆分过程起了个名字：sin 和 cos。

3.2 sin 和 cos 是什么

很简单，它们就是"拆分比例"：

所以：

• 往右走了 = 总距离 x sin(角度)
• 往前走了 = 总距离 x cos(角度)

用上面的例子验证：机器人朝 30 度走了 10cm

• 往右 = 10 x sin(30 度) = 10 x 0.5 = 5cm
• 往前 = 10 x cos(30 度) = 10 x 0.866 = 8.66cm

3.3 常用值参考（不用背，用的时候查这里）

以下数值不需要记住。写代码时电脑会帮你算 sin/cos，这张表只是帮你建立直觉 -- 角度越大，sin 越大，cos 越小。

规律很明显：角度越大，sin 越大（越偏右），cos 越小（越不往前）。

3.4 自己试一试

拖动下面的滑块，看看不同角度时 sin 和 cos 怎么变化：

3.5 为什么定位轮需要 sin/cos？

定位轮测到的是两个信息：

• 机器人走了多远（通过轮子转了几圈计算出来的距离）
• 机器人朝哪个方向（通过陀螺仪或两个轮子的差值）

但我们的坐标系需要的是：

• x 变了多少（左右方向的位移）
• y 变了多少（前后方向的位移）

sin 和 cos 就是那个翻译器 -- 把"朝某个方向走了多远"翻译成"x 变了多少、y 变了多少"。

4.1 为什么要学第二种单位？

我们平时用"度"来表示角度，这是给人看的 -- 0 度、90 度、180 度，很直觉。

但 C++ 代码里的 sin() 和 cos() 函数不接受度，它们只接受另一种单位：弧度。

而且弧度还有一个超好用的公式（下面会讲）。所以弧度不只是"另一种写法"，它在数学上有独特的优势。

4.2 弧度的定义

换算关系很简单：

换算公式：

在代码里，通常定义一个宏或常量来做转换：

// 度转弧度
double toRad(double deg) {
    return deg * M_PI / 180.0;
}

// 弧度转度
double toDeg(double rad) {
    return rad * 180.0 / M_PI;
}

4.3 弧度的杀手级应用

弧度有一个非常简洁的公式：

只有用弧度，这个公式才成立。用度不行。

举个例子：半径 10cm 的圆弧，转了 90 度（= pi/2 弧度），弧长是多少？

• 弧长 = 10 x pi/2 = 10 x 1.5708 = 15.7cm

这个公式在定位轮里非常重要 -- 定位轮的轮子转过的弧长，就等于半径乘以转过的弧度。这是定位轮测距的数学基础。